在輔助圓問題中，我們知道了關於動點的最大值問題的求解方法之壹——求動點的軌跡，這樣可以求出關於動點的最大值。
本文繼續討論由動點引起的另壹類極值問題。在這類題目中，可能先描述動點P，但最後的問題可以是另壹個點Q，當然P和Q是有壹定關系的，從點P討論Q點的軌跡，求最大值，這是常規思路。
首先，軌跡的圓
引文1:如圖，P是圓O上的動點，A是不動點，連接AP，Q是AP的中點。
考慮:當點P在圓O上運動時，點Q的軌跡是怎樣的？
通過對動圖的分析和觀察，我們可以知道點Q的軌跡是壹個圓，但是我們還需要確定的是這個圓和圓O是什麽關系？
考慮到點Q始終是AP的中點，與AO相連，取AO的中點為M，點M為點Q的軌跡中心，半徑MQ為OP的壹半，任意時刻都有△AMQ∽△AOP，QM: PO = AQ: AP = 1: 2。
總結確定Q點的軌跡圓，即確定其圓心和半徑。
從A，Q，P的線，我們可以得到A，M，O的三點線，
q是AP的中點:AM = 1/2ao。
Q點的軌跡相當於P點軌跡的比例縮放。
根據運動點之間的相對位置關系，分析圓心的相對位置關系；
根據移動點之間的數量關系
分析軌跡圓半徑的定量關系。
解決這個問題的方法不止壹種。例如，旋轉可以按如下方式構造。當直線A，C和A'***，可以得到AO的最大值。