對於有限集合，妳可以認為基數就是集合中元素的個數。
無限集是沒法計算個數的，人們用建立壹壹映射的方法給無限集定義了基數。
比如全體自然數就是無限集，全體有理數也是無限集；
因為有理數都能表示成m/n（m、n都是整數），所以我可以用2^m x 3^n使有理數壹壹映射到全體自然數的壹個子集上；反過來全體自然數N可以壹壹映射到N/1（有理數的壹個子集）；
如此就能證明自然數和有理數的基數是相同的，稱其基數是可數無限的。
但是實數是不可數的，我們可以反證；
假設實數可數，那我們可以象自然數壹樣對其排隊,
自然數排隊如1、2、3、4、...n...
實數排隊是A1、A2、A3、...An...
由於實數可以寫成無限小數（有限小數可以在後面添加無限個0），那麽實數排隊壹定可以寫成：
A11 A12 A13...A1n...
A21 A22 A23...A2n...
A31 A32 A33...A3n...
...
An1 An2 An3...Ann...
...
其中，A11表示A1的最高位數字，A12表示A1的第二位數字，依此類推，
現在我手工造壹個實數Ak，令Ak1≠A11、Ak2≠A22、Ak3≠A33...Akn≠Ann，
那麽實數Ak和前面排隊裏的每個實數都不相等，這就說明實數和自然數之間無法建立壹壹映射，稱實數是不可數的。
再看連續統假設，自然數基數和實數基數之間不再有其它基數；哥德爾和科恩證明了，連續統假設和集合理論是相互獨立的，就是說無論從誰出發都證明不了對方的正確性；但是很多人對連續統假設的真理性持懷疑態度，壹直在尋找可以替代它的公理。
選擇公理是說，任意不空的集合組成壹個集合族，壹定能找到壹種辦法從其中每個集合裏選出壹個元素。
和連續統假設壹樣，選擇公理是獨立的；
如果不用選擇公理，很多數學分支都會滅亡，連微積分的理論基礎都會成問題；
而用了選擇公理，會產生如巴拿赫-塔斯基悖論（壹個球切成有窮片斷後能重新組合成與原球相同尺寸的兩個球）那樣的怪物；
因此人們也壹直想替換它，但目前看來很困難。
這方面的書，入門就是中國大百科全書數學卷中有專門條目；
進壹步，比較全的大學集合論教科書會講；
中文專書有張錦文的《連續統假設》（遼寧教育出版社）、趙希順的《選擇公理》（人民出版社），這兩本書都假設妳學過數理邏輯和集合論、最好讀過大學數學專業。