輕松學習微積分的書評
1
書評的起源
去年5月，作者得到了科學出版社編輯(教師)張中行贈送的《輕松學微積分》壹書。出於對書名的好奇，作者壹口氣看完了這本書，覺得讀起來真的很“輕松”。微積分是大學理工科專業的必修課，這樣的課程也叫“高等數學”。所謂微積分，包括微分學和積分學，在處理很多實際問題中起到了很好的作用。所以對於理工科專業的學生來說，學好微積分是非常必要的。
毫無疑問，市場上顯然有各種微積分的教材和科普書籍。那麽，自然的問題是，為什麽這本書的作者卓永紅先生要寫這樣壹本“簡單易學”的微積分教材？
關於這個問題，作者曾在序言中發表過這樣的觀點:
“筆者深感，很多人微積分這門學科成績不理想的原因，往往不是因為天賦差或者學習態度不好，而是因為沒有把握住微積分各種題目的核心精神，停留在抽象符號的運算上，所以進不了門。”
確實如作者所說，目前很多微積分教材往往側重於數學符號和公式的簡單羅列，而未能將微積分中的壹些定理直觀地展現給讀者。長期以來，很多人討厭微積分，甚至說壹輩子都不想看到牛頓和萊布尼茨的導數符號。
然而，解決這個問題並不那麽容易，本書作者試圖借助他對微積分的“通俗易懂”的解釋來緩解這種糟糕的局面。
2
這本書的特點
細看這本書，發現它有以下幾個特點:
(1)用數學史介紹微積分
目前很多微積分教材主要是講解數學結果本身，所以大多是以“定義-定理-例題-習題”的模式介紹，很難引起讀者的閱讀興趣。本書的特點之壹是交替介紹數學史，通過數學史的介紹，達到數學與歷史的有效融合。值得註意的是，本書每壹章的開頭，都會有壹段數學家或者其他領域大家的名言。例如，在本書的第二章“微分學”中，就有哲學家伏爾泰對微積分的深刻見解:
"微積分是壹門精確計算和測量無法想象的事物的藝術."
雖然在很多人看來，數學家的名言並不能幫助他們理解那些看似枯燥的數學公式，但需要特別註意的是，這些領軍人物的觀點往往能幫助他們快速理解壹門學科的本質內涵。當然，在這本書裏，通過在每章前放上名言名句，可以有效地奠定這本書的主題(沒錯，妳看的是微積分書！)。
此外，作者在本書中還花了大量時間闡述了壹些關於微積分的數學史料，如歷史上牛頓與萊布尼茨的版權之爭、最速下降線問題、洛必達與伯努利的故事等。即使這些都是微積分中的經典事實，但作者不落俗套，用自己獨特幽默的語言列舉這些舊事，讓作者覺得有壹個有趣的數學老師在教微積分的歷史。另外，細讀作者的文字，可以看出作者有很重的臺灣口音(比如書中174頁中間文字“其實這兩種拼法在法語中是等價的，都可以用！”)，所以可以理解為具有臺灣省特色的微積分史。
(2)詳細展示處理問題的解題思路。
微積分的本質是微分學和積分學。其中微分學部分涉及導數和可微性的概念，涉及的數學定理有費馬大定理、羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。這些數學定理也幫助廣大學習微積分的學生了解了國外的壹群數學家:費馬，拉格朗日，柯西。積分的理論部分主要涉及黎曼積分，與數學系實變函數課程中的勒貝格積分不同。
對數學理論的掌握主要體現在數學分析上，而這本書的目的是為了輕松地學習微積分，所以自然會以數學計算為主要講解目標。比如函數的導數怎麽算？壹個函數的不定積分和定積分怎麽算？如何計算壹個二重和三重積分？這些都是微積分教學要解決的關鍵問題，理論證明處於次要地位。
這本書的另壹個特點是作者用自己的通俗語言和思維方式展示了解決問題的關鍵思路。
比如作者在證明函數極限問題時，壹步步介紹如何運用數學技巧達到最終目的。比如有的習題需要分子合理化，有的習題需要三角不等式。比如在《例1.4.12》壹書中，作者寫了這樣壹段話:
“接下來，用壹個小把戲看清楚。這叫三角不等式。”
不知道的讀者以為誤入了武俠小說。怎麽會有什麽貓膩？其實數學圈本身也可以算是壹個小江湖，這裏用來做題的招數也是數學裏的武功秘籍。筆者曾有壹個不恰當的觀點:“數學技能如手勢，數學思想如內功。”。如果用在這裏，那麽三角不等式真的是壹個招式，只是壹個簡單的手勢。
(3)善於用圖表將數學概念形象化。
第壹次看這本書的時候，很難不被作者做出的精美幾何圖像所吸引。在微積分中，形式上的符號運算難免讓人感到厭煩，很少有人願意壹直和數學公式打交道。其實如果妳了解生物學的期刊論文，不難看出他們的文章都是“看圖說話”。其實數學應該是這樣的。據說數學家之間討論學術問題的時候，往往會先畫壹個圖，然後根據圖來補上相應的數學描述。
在這本書中，令人驚嘆的圖形自然是二維或三維幾何圖像的繪制。尤其是當我們遇到二重積分和三重積分的問題時，如果有更直觀的幾何圖像來幫助我們理解問題，那麽我們就達到了化繁為簡的目的。其實這本書裏的插圖實在太多了，有直觀理解數學概念的效果就不用說了。
用乳膠精心排版書籍
我剛拿到這本書不久，就對這本書的版式感到滿意。除了對作者的排版技巧感到驚訝之外，這本書的編輯張中行先生告訴筆者:“作者卓永紅先生是壹位tex排版大師，也是她迄今為止所認識的第二位實力派人物。”此外，張老師還補充道:“除了不能很快的畫圖，基本就是上課筆記老師帶著講課筆記的排版速度。”
雖然筆者從未見過卓永紅先生，但通過閱讀這本書的排版和張中行先生的描述，我斷定我說的肯定是真的(畢竟數學家是嚴謹的！)。
這本書在LaTeX排版上真的很有技巧，可以和其他LaTex玩家相比。壹個顯著的事實是，作者在本書的解題過程中插入了許多箭頭，在各種定義、定理、性質的編排上獨具風格。筆者認為，國內很多數學書籍的排版必然會借鑒這本書。
三
寫在最後
關於《易學微積分》這本書，列舉的特點只是書中的壹部分優點，其他優點需要讀者自己去發現。這本書的壹個缺點自然是這本書沒有繼續介紹曲面積分和曲線積分的理論。這本書共分十二章，然而第12章只介紹二重積分和三重積分，所以在我看來，這對於想學微積分的同學來說是不夠的。
作者也是學數學的，寫書評價數學老師有些不妥。所以，這裏是上師大數學系老師陳悅曾經告誡筆者的壹句話的結尾:
“看書的時候，把自己想象成作者本人。寫的話，能寫嗎？為什麽要這樣寫？”
四
編者按
朱曉先生太謙虛了。朱曉先生是同濟大學數學科學學院的研究生。感謝他學習研究後對《微積分小書》的書評。《輕松學微積分》詳細書籍信息如下圖，獻給喜歡微積分和學習的妳~
內容簡介
輕松學微積分。
作者:卓永紅
輕松有趣的微積分讀物。
適合受眾:對微積分感興趣，想了解微積分的人，想提高數學素養的文科生，上課備考覺得微積分很難學的學生，其他想了解微積分的讀者。
這是壹本教讀者輕松入門微積分的書，也是壹本適合自學的輕松簡單的書。輕松學微積分語言輕松幽默。通過大量貼切具體的圖形圖像，盡可能生動地介紹微積分各種學科概念的由來，將中學數學與高等數學完美銜接，中間穿插數學史，還原數學思想的脈絡。還有常見的關於高等數學符號的趣談，加深讀者的學習印象，了解微積分發展的來龍去脈。作者總結多年微積分教學經驗，盡可能使用簡單易懂的語言，總結學習方法和實用規律，指出常見錯誤和學生盲點，提供詳細的解題技巧，並穿插壹題多解，開闊視野，幫助讀者輕松愉快地從更高的角度把握微積分的具體知識點，讓讀者對微積分有更清晰的認識。本書特別介紹了中國古代數學和古代數學思想，讓讀者在輕松介紹微積分的過程中，也能體會到中國古代哲學家對數學的貢獻。
圖書目錄
目錄
第1章極限和連續性
1.1微積分的起源1
1.2序列的極限5
1.3連續函數和函數的極限16
1.4極限30的嚴格定義
1.4.1極限的定義30
1.4.2由極限定義35證明
1.5連續函數的性質40
1.6自然指數和自然對數45
1.6.1自然指數45
1.6.2自然對數48
1.6.3利用E的定義求解極限49
趣談1.6.4 e 52
1.7等價無窮小代換56
1.7.1動機介紹56
1.7.2無窮小級配57
1.7.3等價無窮小代換58
1.8漸近線63
1.8.1水平漸近線64
1.8.2垂直漸近線66
1.8.3斜漸近線67
第二章微分學
2.1導數定義73
2.2冪函數導數和導函數的性質80
2.3三角函數和對數函數的導函數91
2.4高階導數96
2.5連鎖規則99
2.6單邊衍生工具103
2.7隱函數111的求導
2.8反函數117的求導
2.9對數導數法122
2.10參數推導125
2.11差分131
第三章微分學的應用135
3.1切線和法線135
3.2可變利率問題140
3.3函數143的單調性和凹性
3.3.1函數的單調性143
3.3.2函數147的凹凸性
3.4極值問題153
3.4.1壹階驗證方法155
3.4.2二階驗證方法157
3.5繪制函數圖160
3.6微分中值定理165
3.7洛必達法律170
3.7.1洛必達法則170使用介紹
3.7.2關於洛必達規則176濫用的討論
第四章積分學181
4.1整數181的定義
4.2整數191的基本性質
4.3微積分基本定理196
4.3.1微積分基本定理第壹部分196
4.3.2微積分基本定理第二部分200
4.4不定積分202
4.5曲線之間的區域206
第五章積分技能211
5.1部分積分211
5.2變量替換217
5.2.1第壹種替換方法217
第二種替代方法223
5.3三角形替換225
5.4有理函數的積分:部分分式法232
5.5三角函數的積分243
5.5.1三角函數的冪243
5.5.2含有sin(x)和cos(x)的有理式252
5.5.3巧妙兌換人民幣254
5.6不當積分256
5.6.1第壹類反常積分(無界積分範圍)256
5.6.2第二類反常積分(無界函數)259
5.6.3反常積分的斂散性261
5.7積分技能雜談265
第六章積分學的應用276
6.1曲線弧長276
6.2找到卷283
6.3旋轉體的體積287
6.3.1磁盤方法287
6.3.2脫殼方法291
6.4旋轉體295的表面積
第七章特殊功能299
7.1雙曲函數299
7.1.1雙曲函數的定義299
7.1.2雙曲函數的基本公式302
7.1.3雙曲函數306的導函數
7.1.4反雙曲函數306
7.65438的導函數+0.5的反雙曲函數308
7.1.6雙曲函數在大壹微積分309中的應用
7.2伽瑪函數310
第八章無窮級數313
8.1無窮級數313的斂散性
8.2積分收斂法321
8.3比較和收集方法326
8.4比值收斂法和根收斂法331
8.5交錯級數收斂法335
8.6條件收斂和絕對收斂341
8.7動力系列349
第九章泰勒傳播356
9.1泰勒展開式:多項式逼近函數356
9.1.1泰勒展開式356
9.1.2間接膨脹法360
9.2多項式近似的應用368
9.3泰勒定理和余數373
9.4冪級數的和函數381
第65438章+00極坐標390
10.1極坐標390介紹
10.2極坐標399中的常用曲線
402區的10.3極坐標
弧長409的10.4極坐標
第11章多元函數微分學413
11.1多元函數簡介413
11.2多元函數的極限416
11.3偏導數422
11.4總差額429
11.4.1流行的和不嚴謹的討論56638.86666666661
11.4.2 31的理論探討
11.5多元函數的鏈式法則434
11.6多元函數的隱函數的求導56543.86666666661
11.7梯度、方向導數和切面443
11.7.1漸變443的定義
11.7.2方向導數443
11.7.3切面449
多元函數的極值問題11.8 450
11.9條件極值:拉格朗日乘數法456
第12章多重積分466
12.1二重積分466
12.2三重積分480
用12.3多重積分替換488的方法
12.4極坐標替換499
12.5圓柱坐標替換504
12.6球坐標代換508
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來源:科學出版社數學教育微信微信官方賬號
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