首先,1的無窮大次方並不等於e,而是等於1。
之所以會產生這樣的歧義主要是因為以下兩個式子:
乍壹看仿佛是等量代換,得出1的無窮次方等於e,
但是——
這樣的等量代換在極限的計算過程中是不可行的,
因為——
極限的計算與普通的運算不壹樣,凡是帶有極限的式子都是壹個整體,並不能拆開來先算壹部分然後再算另壹部分。這是因為極限式中的每壹部分對極限的整體收斂是同步在起作用的,而不是壹部分先收斂,另壹部分之後再進行。
就拿這道題的例子:
當x趨於正無窮時,雖然1/x在不斷減少,但作為指數的x卻在不斷增大,
指數x增大的這部分彌補並逐漸超越了1/x減少的部分,
所以整個極限式是在不斷增大的,並且無限趨近於e
(比如:1.0001已經很接近1了,但1.0001^10000卻等於2.718145...遠遠大於1)
所以下面才是正確的式子:
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補充——
為什麽x的增大能超越1/x的減小?
見下圖
隨著x的增大,1/x減少的速度越來越慢,而x的增長速度卻始終不變,
這樣壹來,兩邊速度差就會越來越大,最終導致了極限e的誕生~